Les équations de Maxwell

La théorie du magnétisme a longtemps manqué d'une description mathématique précise. Une explication complète des phénomènes au sens physique n'a été donnée qu'en 1864 par James Clerk Maxwell. Les quatre équations de Maxwell qu'il a découvertes constituent encore aujourd'hui la base de l'électrodynamique. Les équations de Maxwell décrivent essentiellement l'intensité des champs électriques et magnétiques et, par conséquent, les forces correspondantes en présence de certaines distributions de charges ou de courants. Maxwell a ainsi reconnu que les phénomènes électriques et magnétiques ne sont pas indépendants l'un de l'autre. Un champ électrique en mouvement génère ainsi également des champs magnétiques. Vous trouverez plus d'informations sur l'histoire des aimants dans notre guide.

Dans une onde électromagnétique, les champs électriques et magnétiques variables dans le temps s'influencent mutuellement. L'extension des équations de Maxwell dans le vide aux équations de Maxwell dans la matière prend en compte également les phénomènes de polarisation électrique et de magnétisation et peut ainsi décrire également la propagation des champs électriques et magnétiques dans la matière.

Notation

Dans les équations de Maxwell, un opérateur différentiel mathématique est utilisé, appelé également "vecteur gradient". Son symbole est un triangle pointant vers le bas :

\( \vec{\nabla}=\left(\begin{array}{c} \partial/\partial{x} & & \partial/\partial{y} & & \partial/\partial{z} \end{array}\right) \),

où \(\partial/\partial{x}\) désigne la dérivation partielle selon à la variable x.

Cela décrit la part des lignes de champ "partant d'un point", par exemple du champ électrique \(\vec{E}\), à l'aide de ce que l'on appelle la divergence d'un champ (\(\nabla\cdot\vec{E}\)). D'autre part, les boucles fermées de lignes de champ, appelées tourbillons, sont possibles. Ceux-ci sont caractérisés à l'aide de la rotation (\(\nabla\times\vec{E}\)).

Les quatre équations de Maxwell indépendantes du temps et leurs énoncés

Les équations de Maxwell indépendantes du temps décrivent le comportement des champs électriques (\(\vec{E}\)) et de la densité de flux magnétique (\(\vec{B}\)) en présence de charges statiques ρ et de courants \(\vec{j}\) dans le vide ou approximativement dans l'air :

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}\)
ε₀ désigne la constante diélectrique du vide et μ₀ la perméabilité magnétique du vide.

Concrètement, on peut interpréter les énoncés de ces équations comme suit :

1) Des lignes de champ émanent des charges. Les charges sont donc les sources (charges positives) ou les puits (charges négatives) du champ électrique. Ces sources de champ sont caractérisées par la divergence. La force du champ électrique, qui est causée par une charge, est proportionnelle à la charge.

2) Le champ électrique n'a cependant pas de tourbillons à l'état de repos. Les tourbillons sont calculés selon la rotation mentionnée ci-dessus.

3) La densité de flux magnétique, en revanche, n'a pas de sources. Il n'existe pas de "monopôles magnétiques", c'est-à-dire d'objet physique duquel émaneraient simplement des lignes de champ magnétique.

4) Au lieu de cela, les courants causent des tourbillons dans la densité de flux magnétique et donc le champ magnétique. L'intensité du champ magnétique est proportionnelle au courant enfermé.

Les quatre équations de Maxwell dépendant du temps

Les équations de Maxwell dépendant du temps prennent en compte, outre les phénomènes déjà cités, les champs électriques et magnétiques variables dans le temps. Le changement temporel d'un champ est caractérisé par un point. Celui-ci symbolise la dérivée par rapport au temps. Pour le champ électrique, cela signifie donc que \(\dot{\vec{E}}=\frac{d}{dt}\vec{E}\) représente la variation temporelle du champ électrique. Les équations de Maxwell dépendant du temps dans le vide sont donc :

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}+\frac1{c^2}\dot{\vec{E}}\)
Selon l'équation 2), une densité de flux magnétique variable dans le temps provoque donc des tourbillons supplémentaires dans le champ électrique. Un champ électrique variable dans le temps (équation 4) entraîne à son tour des tourbillons supplémentaires dans le champ magnétique. Les équations 2) et 4) permettent par exemple de déterminer le comportement des ondes électromagnétiques. La grandeur c est la vitesse de la lumière qui est liée aux constantes ε₀ et μ₀ de la manière suivante :

\(\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\).

L'introduction de paramètres spécifiques aux matériaux est nécessaire pour décrire la propagation des champs électriques et magnétiques dans la matière. Dans la matière, les champs électriques entraînent une polarisation électrique et les champs magnétiques entraînent une magnétisation. Les équations de Maxwell dépendant du temps dans la matière en tiennent compte de la manière suivante :

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0-\nabla\cdot\frac{\vec{P}}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\frac{1}{c^2}\dot{\vec{E}}+\mu_0\dot{\vec{P}}+\mu_0\nabla\times\vec{M}+\mu_0\cdot\vec{j}\)
Selon l'équation 1), les sources du champ électrique ne sont donc pas seulement les charges réelles ρ, mais aussi la polarisation \(\vec{P}\). La polarisation dépend de la diélectricité (polarisabilité) spécifique du matériau.

Selon l'équation 4), les tourbillons de la densité de flux magnétique sont provoqués par des courants \(\vec{j}\), des champs électriques variables dans le temps (y compris les polarisations) et par des magnétisations \(\vec{M}\). Comme la magnétisation dépend de la constante de perméabilité magnétique spécifique au matériau μ, des informations sur la 4ème équation de Maxwell se trouvent dans \(\vec{M}\), indiquant comment le matériau peut être magnétisé dans les champs extérieurs et comment il influe sur la densité de flux magnétique.